Question

18．已知函数f（x）=x³-3ax+1有3个零点，则a的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）
• C． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• D． （$\frac{\root{3}{2}}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 函数f（x）=x³-3ax+1有三个不同的零点可知函数f（x）有两个极值点，且极小值小于0，极大值大于0；利用导数求函数的极值点即可．

解答 解：由函数f（x）=x³-3ax+1有三个不同的零点，
则函数f（x）有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0；
由f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），
当a≤0时，f′（x）≥0，函数f（x）在定义域内为增函数，不合题意；
当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=$±\sqrt{a}$．
又∵x∈（-∞，-$\sqrt{a}$）时，f′（x）＞0，
x∈（-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）时，f′（x）＜0，
x∈（$\sqrt{a}$，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数的极小值f（$\sqrt{a}$）=$-2a\sqrt{a}+1$和极大值f（-$\sqrt{a}$）=$2a\sqrt{a}+1$．
∵函数f（x）=x³-3ax+1有三个不同的零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2a\sqrt{a}+1＜0}\\{2a\sqrt{a}+1＞0}\end{array}\right.$，
解得，a$＞\frac{\root{3}{2}}{2}$．
故选：D．

点评 本题主要考查函数零点的判定方法，利用导数研究函数的极值和单调性，要使函数有三个零点，只要保证函数的极大值大于零和极小值小于零，是解题的关键，属中档题．