Question

已知函数f(x)=xlnx，g(x)=

x

ex

-

2

e

．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）证明：对任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1．
当x∈(0，

1

e

)，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当x∈(

1

e

，+∞)，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以函数f（x）在区间[1，3]上单调递增，又f（1）=0，
所以函数f（x）在区间[1，3]上的最小值为0．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））在x=

1

e

时取得最小值，
又f(

1

e

)=-

1

e

，可知f(m)≥-

1

e

．
由g(x)=

x

ex

-

2

e

，可得g′(x)=

1-x

ex

．
所以当x∈（0，1），g'（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（1，+∞），g'（x）＜0，g（x）单调递减．
所以函数g（x）（x＞0）在x=1时取得最大值，
又g(1)=-

1

e

，可知g(n)≤-

1

e

，
所以对任意m，n∈（0，+∞），
都有f（m）≥g（n）成立．