Question

在一个盒子中有n+2（n≥2，n∈N^*）个球，其中2个球的标号是不同的偶数，其余n个球的标号是不同的奇数．甲乙两人同时从盒子中各取出2个球，若这4个球的标号之和为奇数，则甲胜；若这4个球的标号之和为偶数，则乙胜．规定：胜者得2分，负者得0分．
（I）当n=3时，求甲的得分ξ的分布列和期望；
（II）当乙胜概率为

3

7

时，求n的值．

Answer 1

分析：（I）由题意知甲的得分ξ，ξ的可能取值是2，0，当n=3时利用等可能事件的概率做出甲胜的概率，从而得到甲负的概率，写出分布列，做出期望值．
（II）要求乙胜得概率是

3

7

时，对应的n的值，对于n的值进行检验，分别做出对应的概率，概率不等于

3

7

，则舍去；等于时，的得到结果．

解答：解：（I）甲的得分ξ，ξ的可能取值是2，0
当n=3时，甲胜的概率为P=

C 3 3 • C 1 2

C 4 5

=

2

5

，从而甲负的概率为

3

5

．
∴甲的得分ξ的分布列为

故Eξ=

4

5

（II）当n=2时，乙胜的概率为P=1，不合题意；
当n=3时，乙胜的概率为P=

3

5

，不合题意；
当n≥4时，乙胜的概率P=

C 2 n

C 4 n+2

+

C 4 n

C 4 n+2

=

(n-2)(n-3)+12

(n+2)(n+1)

故

(n-2)(n-3)+12

(n+2)(n+1)

=

3

7

，化简得n²-11n+30=0，
解得n=5或n=6．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查分类讨论思想的应用，考查利用概率知识解决实际问题，是一个综合题目．