Question

在一个盒子中有n+2（n≥2，n∈N^*）个球，其中2个球的标号是不同的偶数，其余n个球的标号是不同的奇数．甲乙两人同时从盒子中各取出2个球，若这4个球的标号之和为奇数，则甲胜；若这4个球的标号之和为偶数，则乙胜．规定：胜者得2分，负者得0分．
（I）当n=3时，求甲的得分ξ的分布列和期望；
（II）当乙胜概率为时，求n的值．

Answer 1

解：（I）甲的得分ξ，ξ的可能取值是2，0
当n=3时，甲胜的概率为，从而甲负的概率为．
∴甲的得分ξ的分布列为

故
（II）当n=2时，乙胜的概率为P=1，不合题意；
当n=3时，乙胜的概率为，不合题意；
当n≥4时，乙胜的概率
故，化简得n²-11n+30=0，
解得n=5或n=6．
分析：（I）由题意知甲的得分ξ，ξ的可能取值是2，0，当n=3时利用等可能事件的概率做出甲胜的概率，从而得到甲负的概率，写出分布列，做出期望值．
（II）要求乙胜得概率是时，对应的n的值，对于n的值进行检验，分别做出对应的概率，概率不等于，则舍去；等于时，的得到结果．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查分类讨论思想的应用，考查利用概率知识解决实际问题，是一个综合题目．