Question

14．设G为△ABC的重心，$\overrightarrow{AG}$=2$\overrightarrow{AM}$，则（　　）

• A． $\overrightarrow{BM}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{BC}$
• B． $\overrightarrow{BM}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}$
• C． $\overrightarrow{BM}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$-$\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}$
• D． $\overrightarrow{BM}$=-$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$-$\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}$

Answer 1

分析 根据G为△ABC的重心及向量加法平行四边形法则即可得出$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，再由向量减法和数乘的几何意义及向量的数乘运算便可得到$\overrightarrow{AG}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，同样由$\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AM}$可得到$\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{BM}-2\overrightarrow{BA}$，从而得出$-\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BM}-2\overrightarrow{BA}$，进行向量的数乘运算即可求出$\overrightarrow{BM}$，从而找出正确选项．

解答 解：如图，

根据条件，$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{3}（-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）$=$-\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$；
又$\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AM}=2（\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}）=2\overrightarrow{BM}-2\overrightarrow{BA}$；
∴$-\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BM}-2\overrightarrow{BA}$；
∴$\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}$．
故选：B．

点评 考查向量减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，三角形重心的概念及重心的性质．