Question

4．曲线x²+4y²-6x-16y+21=0与平行y轴的直线交于A，B两点，曲线的中心为O′，试求△O′AB面积的最大值．

Answer 1

分析 将取消方程化为标准方程，求出三角形的面积，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：曲线x²+4y²-6x-16y+21=0，可化为（x-3）²+4（y-2）²=4，中心为O′（3，2），
将坐标系平移到O′，方程为$\frac{x{′}^{2}}{4}+y{′}^{2}$=1，
设y′=a（-1＜a＜1），则x′=±$\sqrt{4-4{a}^{2}}$，
∴三角形的面积S=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{4-4{a}^{2}}$•|a|=2$\sqrt{（1-{a}^{2}）{a}^{2}}$≤1-a²+a²=1，
∴S的最大值为1，
∴△O′AB面积的最大值为1．

点评 本题考查曲线与方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．