Question

定义在R上的函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）+k（k为常数）．
（I）判断k为何值时，f（x）为奇函数，并证明；
（II）设k=-1，f（x）是R上的增函数，且f（4）=5，若不等式f（mx²-2mx+3）＞3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（I）根据定义在R上的奇函数的性质，有f（0）=0，求得k的值，再根据f（a+b）=f（a）+f（b）+k，赋值a=x，b=-x，即可得到f（-x）与f（x）之间的关系，根据奇函数的定义，即可证得结论；
（II）将k=-1代入恒等式可得f（a+b）=f（a）+f（b）-1，再利用恒等式进行赋值，将3转化为f（2），再根据f（x）的单调性去掉“f”，转化为mx²-2mx+3＞2对任意x∈R恒成立，对m分两种情况讨论，当m=0时，和m≠0分别求解恒成立，即可求得实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）若f（x）在R上为奇函数，则f（0）=0，
∵函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）+k，
∴令a=b=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）+k，
∴k=0，
下证明函数是奇函数
∵f（a+b）=f（a）+f（b），
∴令a=x，b=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，
∴0=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，
∴f（x）为奇函数；
（Ⅱ）∵k=-1，
∴f（a+b）=f（a）+f（b）-1，
∴f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，即2f（2）-1=5，
∴f（2）=3，
∵不等式f（mx²-2mx+3）＞3对任意x∈R恒成立，
∴f（mx²-2mx+3）＞f（2）对任意x∈R恒成立，
又∵f（x）是R上的增函数，
∴mx²-2mx+3＞2对任意x∈R恒成立，
∴mx²-2mx+1＞0对任意x∈R恒成立，
①当m=0时，1＞0对x∈R恒成立，
∴m=0符合题意；
②当m≠0时，则有

m＞0 △=4m2-4m＜0

，即

m＞0 0＜m＜1

，
∴0＜m＜1，
∴实数m的取值范围为0＜m＜1．
综合①②可得，实数m的取值范围是[0，1）．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，函数的恒成立问题，以及抽象函数及其应用．奇偶性的判断一般应用奇偶性的定义和图象，要注意先考虑函数的定义域是否关于原点对称．注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．属于中档题．