Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosA），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin2C，且A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且△ABC的面积为$9\sqrt{3}$，求c边的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量数量积的定义，以及三角函数的关系式即可求角C的大小；
（Ⅱ）若根据等差数列的性质，建立方程关系结合三角形的面积公式以及余弦定理进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，
∵$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin2C，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin2C=sinC，
即2sinCcosC=sinC，解得cosC=$\frac{1}{2}$，
C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵sinA，sinC，sinB成等差数列，
∴2sinC=sinA+sinB，
由正弦定理得2c=a+b，
又△ABC的面积为$9\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{2}$absinC=$9\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$ab=$9\sqrt{3}$，解得ab=36，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，
得c²=4c²-3×36，
解得c²=36，c=6．

点评 本题主要考查余弦定理和三角形的面积的计算，利用向量的数量积进行化简是解决本题的关键．考查学生的运算能力．