Question

1．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直线的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且点A在直线上．
（1）求a的值及直线的直角坐标方程；
（2）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．

Answer 1

分析 （1）运用代入法，可得a的值；再由两角差的余弦公式和直角坐标和极坐标的关系，即可得到直角坐标方程；
（2）求得圆的普通方程，求得圆的圆心和半径，由点到直线的距离公式计算即可判断直线和圆的位置关系．

解答 解：（1）由点A（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）在直线ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a上，可得a=$\sqrt{2}$cos0=$\sqrt{2}$，
所以直线的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2，
从而直线的直角坐标方程为x+y-2=0，
（2）由已知得圆C的直角坐标方程为（x-1）²+y²=1，
所以圆心为（1，0），半径r=1，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|1+0-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜1，
所以直线与圆相交．

点评 本题考查参数方程和极坐标方程与普通方程的互化，同时考查直线和圆的位置关系的判断，属于中档题．