Question

9．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，则a+b的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点，可得双曲线的c=1，a²+b²=1，令a=cosα，b=sinα（0＜α＜$\frac{π}{2}$），运用两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域即可得到最大值．

解答 解：抛物线C₁：y²=4x的焦点为（1，0），即有双曲线的右焦点为（1，0），
即c=1，a²+b²=1，
令a=cosα，b=sinα（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
则a+b=cosα+sinα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）
当α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，sin（α+$\frac{π}{4}$）取得最大值1，
即有a+b取得最大值$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，同时考查三角换元和正弦函数的图象和性质，运用两角和的正弦公式是解题的关键．