Question

11．求函数y=arctan（$\sqrt{2}$sinx-cosx）的值域．

Answer 1

分析 由条件利用辅助角公式，正弦函数的值域求得（$\sqrt{2}$sinx-cosx）∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，再根据反正切函数的定义可得y=arctan（$\sqrt{2}$sinx-cosx）的值域．

解答 解：由于 $\sqrt{2}$sinx-cosx=$\sqrt{3}$sin（x+θ），cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，sinθ=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴（$\sqrt{2}$sinx-cosx）∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．
再根据反正切函数的定义可得函数y=arctan（$\sqrt{2}$sinx-cosx）∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
即函数y=arctan（$\sqrt{2}$sinx-cosx）得值域为[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]．

点评 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，反正切函数的定义，属于基础题．