Question

16．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a+b=6，c=2，cosC=$\frac{7}{9}$．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求sin（A-C）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据余弦定理建立方程关系即可求a、b的值；
（Ⅱ）利用两角和差的正弦公式即可求sin（A-C）的值．

解答 解：（Ⅰ）由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，得c²=（a+b）²-2ab（1+cosC），
又a+b=6，c=2，cosC=$\frac{7}{9}$，
所以ab=9，解得a=3，b=3．…（6分）
（Ⅱ）在△ABC中，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
由正弦定理得sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
因为a=c，所以A为锐角，所以cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{1}{3}$，
因此 sin（A-C）=sinAcosC-cosAsinC=$\frac{10\sqrt{2}}{27}$．…（12分）

点评 本题主要考查三角函数值的计算，利用余弦定理和正弦定理以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．