Question

6．已知正数x，y满足xy+x+2y=6，则xy的最大值为2．

Answer 1

分析 正数x，y满足xy+x+2y=6，可得x=$\frac{6-2y}{y+1}$＞0，解得0＜y＜3．可得xy=$\frac{y（6-2y）}{y+1}$，化简整理利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵正数x，y满足xy+x+2y=6，
∴x=$\frac{6-2y}{y+1}$＞0，解得0＜y＜3．
∴xy=$\frac{y（6-2y）}{y+1}$=$-2（y+1+\frac{4}{y+1}）+10$≤$-2×2\sqrt{（y+1）•\frac{4}{y+1}}$+10=2，当且仅当y=1（x=2）时取等号．
∴xy的最大值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力，属于基础题．