Question

16．某集团公司生产所需原材料中的一种管材由两家配套厂提供，已知该管材的内径设计标准为500mm，内径尺寸满足[495，505〕（单位：mm）为优等品．为调研此种管材的质量情况，调查人员依据产量比例分别随机抽取了甲厂20件、乙厂15件进行内径尺寸检查，以百位、十位为茎，个位为叶，将检查结果用如下茎叶图表示：

（Ⅰ）从产品的优等品率、平均尺寸和稳定情况三个角度，评价甲厂和乙厂的产品质量的优劣；
（Ⅱ）在非优等品的抽检产品中随机抽取2件复检，求抽取的2件来自于同一厂家的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）从产品的优等品率、平均尺寸和稳定情况三个角度，评价甲厂和乙厂的产品质量的优劣；
（Ⅱ）利用列举法，结合古典概型的概率公式进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）甲厂20件产品中属于优等品的有16件，则优等品率为P₁=$\frac{16}{20}=0.8$、
乙厂15件产品中属于优等品的有12件，则优等品率为P₂=$\frac{12}{15}$=0.8，
设甲厂的平均数为$\overline{{x}_{1}}$，则$\overline{{x}_{1}}$=500+$\frac{1}{20}$（7+6+5+3+3+2+2+2+1-1-2-2-4-5-5-6-6）=500（mm），
设乙厂的平均数为$\overline{{x}_{2}}$，则$\overline{{x}_{2}}$=500+$\frac{1}{15}$（7+5+4+3+2+2+1-1-2-4-5-6-6）=500（mm），
甲厂的方差${S}_{1}^{2}$=14.4，乙厂的方差${S}_{2}^{2}$≈15.07，
∴从优等品率和平均尺寸上看，两个厂家一致，
从方差来看，甲厂的方差比较小，故甲厂比较稳定；
（Ⅱ）由数据知，抽查产品中的非优等品有7件，其中甲厂4件，记为A₁，A₂，A₃，A₄；
乙厂为3件，即为B₁，B₂，B₃，
随机抽取2件，有21种结果：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₄），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），
（A₂，A₃），（A₂，A₄），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），
（A₃，A₁），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，B₃），
（A₄，B₁），（A₄，B₂），（A₄，B₃），
（B₁，B₂），（B₁，B₃），
（B₂，B₃），
其中来自同一个厂的有9种：（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₄），（A₂，A₃），（A₂，A₄），
（A₃，A₁），（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₂，B₃），
在非优等品的抽检产品中随机抽取2件复检，求抽取的2件来自于同一厂家的概率P=$\frac{9}{21}=\frac{3}{7}$．

点评 本题主要考查茎叶图的应用以及古典概型的概率计算，利用列举法是解决本题的关键．