Question

7．“α为第一象限角”是“$\frac{sinα}{cosα}$+$\frac{cosα}{sinα}$≥2”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充分必要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的取值符号和基本不等式进行判断即可．

解答 解：若α为第一象限角，则sinα＞0，cosα＞0，
则$\frac{sinα}{cosα}$＞0，$\frac{cosα}{sinα}$＞0，
则$\frac{sinα}{cosα}$+$\frac{cosα}{sinα}$$≥2\sqrt{\frac{sinα}{cosα}•\frac{cosα}{sinα}}=2$，
当且仅当$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{cosα}{sinα}$，即sin²α=cos²α，
sinα=cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即α=$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z取等号，故充分性成立，
当α为第三象限角，则sinα＜0，cosα＜0，
则$\frac{sinα}{cosα}$＞0，$\frac{cosα}{sinα}$＞0，
则由$\frac{sinα}{cosα}$+$\frac{cosα}{sinα}$$≥2\sqrt{\frac{sinα}{cosα}•\frac{cosα}{sinα}}=2$，
当且仅当$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{cosα}{sinα}$，即sin²α=cos²α，
sinα=cosα=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，取等号，故必要性不成立，
故“α为第一象限角”是“$\frac{sinα}{cosα}$+$\frac{cosα}{sinα}$≥2”的充分不必要条件，
故选：A

点评 本题主要考查充分条件和必要条件，结合三角函数的取值范围和基本不等式是解决本题的关键．