Question

15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D．若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，则EC=4．

Answer 1

分析 利用切割线定理结合题中所给数据，得PA=3，由弦切角定理结合有一个角为60°的等腰三角形是正三角形，得到PE=AE=3，最后由相交弦定理可得BE•DE=AE•CE，从而求出EC的长．

解答 解：∵PA是圆O的切线，∴PA²=PD•PB=9，可得PA=3．
∵∠PAC是弦切角，夹弧ADC，∴∠PAC=∠ABC=60°，
∵△APE中，PE=PA，∴△APE是正三角形，可得PE=AE=PA=3．
∴BE=PB-PE=6，DE=PE-PD=2
∵圆O中，弦AC、BD相交于E，
∴BE•DE=AE•CE，可得6×2=3EC，∴EC=4，
故答案为：4．

点评 本题在圆中给出切线，并且以切线长为一边作正三角形的情况下，求线段的长度．着重考查了切线的性质、正三角形的判定和相交弦定理等知识，属于中档题．