Question

20．已知sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{5}$，0＜α$＜\frac{π}{2}$，求tan（α-$\frac{π}{6}$）及sinα的值．

Answer 1

分析 由题意可得诱导公式可得cos（α-$\frac{π}{6}$），进而由同角三角函数基本关系可得sin（α-$\frac{π}{6}$），可得tan（α-$\frac{π}{6}$），再由和差角的正弦公式可得sinα

解答 解：∵0＜α$＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}$＜α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$，
又∵sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{5}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{4}$或α+$\frac{π}{3}$＞$\frac{3π}{4}$，
结合$\frac{π}{3}$＜α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$可得$\frac{3π}{4}$＜α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{5π}{12}$＜α＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{4}$＜α-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{3}$，
∴由诱导公式可得cos[$\frac{π}{2}$-（α+$\frac{π}{3}$）]=sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{5}$，
∴cos（α-$\frac{π}{6}$）=cos（$\frac{π}{6}$-α）=$\frac{3}{5}$，
结合$\frac{π}{4}$＜α-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{3}$可得sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，
∴tan（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{3}$，
∴sinα=sin[（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$cos（α-$\frac{π}{6}$）
=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数，涉及诱导公式的应用，属基础题．