Question

12．数列{a_n}的前n项和为S_n，且点（a_n，S_n）在直线y=2x-2上，数列{b_n}满足2b₁=a₁，b_n+1=b_n+2．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由点（a_n，S_n）在直线y=2x-2上，可得S_n=2a_n-2，当n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为a_n=2a_n-1，利用等比数列的通项公式可得a_n．由于数列{b_n}满足2b₁=a₁，b_n+1=b_n+2利用等差数列的通项公式可得b_n．
（II）由（I）可知：c_n=a_nb_n=（2n-1）×2ⁿ，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵点（a_n，S_n）在直线y=2x-2上，
∴S_n=2a_n-2，当n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，化为a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为2，
∴${a}_{n}={2}^{n}$．
∵数列{b_n}满足2b₁=a₁，b_n+1=b_n+2．
∴${b}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}$=1，b_n+1-b_n=2，
∴数列{b_n}是等差数列，首项为1，公差为2，
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）由（I）可知：c_n=a_nb_n=（2n-1）×2ⁿ，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=（3-2n）×2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=6+（2n-3）×2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．