Question

20．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2$\sqrt{2}$，PA=2，$\overrightarrow{PE}$=2$\overrightarrow{EC}$．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）若直线PD与平面PBC所成角为$\frac{π}{6}$，求二面角A-PB-C的大小．

Answer 1

分析 （I）先由已知建立空间直角坐标系，利用向量法即可证明；
（II）求出两个平面的法向量，利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角．

解答 证明：（Ⅰ）设AC∩BD=0，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，建立空间直角坐标系如图：
则A（-$\sqrt{2}$，0，0），C（$\sqrt{2}$，0，0），P（-$\sqrt{2}$，0，2），
设B（0，-a，0），D（0，a，0），
由$\overrightarrow{PE}$=2$\overrightarrow{EC}$得E（$\frac{\sqrt{2}}{3}$，0，$\frac{2}{3}$），
则$\overrightarrow{PC}$=（2$\sqrt{2}$，0，-2），$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{\sqrt{2}}{3}$，a，$\frac{2}{3}$），
$\overrightarrow{BD}$=（0，2a，0），
∴$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{BE}$=0，
∴$\overrightarrow{PC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{PC}$⊥$\overrightarrow{BE}$，
即PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设平面PAB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}$，-a，0），
由$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0$，解得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{\sqrt{2}}{a}$，0），
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{2}$，a，0），$\overrightarrow{CP}$=（-2$\sqrt{2}$，0，2），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CP}$=0，得$\overrightarrow{m}$=（1，-$\frac{\sqrt{2}}{a}$，$\sqrt{2}$），
∵直线PD与平面PBC所成角为$\frac{π}{6}$，
∴sin$\frac{π}{6}$=$\frac{|\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{m}|}=\frac{1}{2}$，解得a=$\sqrt{2}$，
于是$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=1-\frac{2}{{a}^{2}}=0$，
即$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，
则平面APB⊥平面PBC；
即二面角A-PB-C的大小为$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系．