Question

8．已知数列{a_n}与{b_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=log₂b_n（n∈N^*）．若{a_n}为等差数列，且a₁=2，b₃=64b₂．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设c_n═（a_n+n+1）•2${\;}^{{a}_{n}-2}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a₃=$lo{g}_{2}\frac{{b}_{3}}{{b}_{2}}$及a₁=2可得d=2，进而可得a_n=2n，利用a₁+a₂+a₃+…+a_n=log₂b_n可得b_n=2^n（n+1）；
（Ⅱ）通过（I）及c_n═（a_n+n+1）•2${\;}^{{a}_{n}-2}$可得T_n、4T_n的表达式，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：a₁+a₂+a₃=log₂b₃，a₁+a₂=log₂b₂，
两式相减可得：a₃=$lo{g}_{2}\frac{{b}_{3}}{{b}_{2}}$=log₂64=6，
∵a₁=2，∴d=2，∴a_n=2n，
∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=$2•\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1）=log₂b_n，
∴b_n=2^n（n+1）；
（Ⅱ）由题意c_n═（a_n+n+1）•2${\;}^{{a}_{n}-2}$=（3n+1）4^n-1，
∴T_n=4+7•4+10•4²+…+（3n+1）•4^n-1，
4T_n=4•4+7•4²+10•4³+…+（3n+1）•4ⁿ，
两式相减得：-3T_n=4+3•4+3•4²+…+3•4^n-1-（3n+1）•4ⁿ
=4+3（4+4²+…+4^n-1）-（3n+1）•4ⁿ
=4+3•$\frac{4（1-{4}^{n-1}）}{1-3}$-（3n+1）•4ⁿ，
整理得：T_n=n•4ⁿ（n∈N^*）．

点评 本题考查求数列的通项及前n项和公式，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．