Question

18．已知不存在整数x使不等式（ax-a²-4）（x-4）＜0成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （0，2]
• C． [1，2]
• D． [1，4]

Answer 1

分析 设原不等式的解集为A，然后分a大于0且不等于2，a等于2，小于0和等于0四种情况考虑，分别求得a的范围，再把a的范围取并集，即得所求．

解答 解：设原不等式的解集为A，当a=0时，则x＞4，不合题意．
当a＞0且a≠2时，原不等式化为[x-（ a+$\frac{4}{a}$）]（x-4）＜0，
∵a+$\frac{4}{a}$＞4，∴A=（4，a+$\frac{4}{a}$），要使不存在整数x使不等式（ax-a²-4）（x-4）＜0成立，
须a+$\frac{4}{a}$≤5，解得：1≤a≤4，且a≠2；
当a=2时，A=∅，合题意，
当a＜0时，原不等式化为[x-（ a+$\frac{4}{a}$）]（x-4）＞0，
∴A=（-∞，a+$\frac{4}{a}$）∪（4，+∞），不合题意，
故选：D．

点评 此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，同时考查了运算能力，是一道中档题．