Question

1．设A、B是焦距为2$\sqrt{3}$的椭圆C₁：x²+$\frac{y^2}{a^2}$=1（a＞1）的左、右顶点，曲线C₂上的动点P满足k_AP-k_BP=a，其中，k_AP和k_BP是分别直线AP、BP的斜率．
（1）求曲线C₂的方程；
（2）直线MN与椭圆C₁只有一个公共点且交曲线C₂于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过点B，求直线MN的方程．

Answer 1

分析 （1）由题易知A（-1，0）、B（1，0），通过设P（x，y），利用$\frac{y-0}{x+1}$-$\frac{y-0}{x-1}$=2（x≠±1）计算即得结论；
（2）通过分析可设直线MN的方程为：y=kx+m，代入椭圆C₁方程，利用根的判别式可得m²=k²+4，结合k_BM•k_MN=m-k=-1，计算即可．

解答 解：（1）由题易知b²=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{c}^{2}={a}^{2}-1}\\{2c=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得a=2，
∴A、B的坐标为A（-1，0）、B（1，0），
设P（x，y），则$\frac{y-0}{x+1}$-$\frac{y-0}{x-1}$=2（x≠±1），即y=1-x²（x≠±1），
∴曲线C₂的方程为：y=1-x²（x≠±1）；
（2）若直线MN垂直于x轴，则与曲线C₂只有一个交点，与题意不符，
∴直线MN垂直斜率，设直线MN的方程为：y=kx+m，
代入椭圆C₁方程，整理得：（4+k²）x²+2kmx+m²-4=0，
由题意可得直线与椭圆相切，
∴△₁=（2km）²-4（4+k²）（m²-4）=0，即m²=k²+4，
将y=kx+m代入y=1-x²（x≠±1），
整理得：x²+kx+m-1=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则△₂=（-k）²-4（m-1）＞0      （*）
由韦达定理可知：x₁+x₂=-k，x₁x₂=m-1，
∴k_BM•k_MN=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$
=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=$\frac{{k}^{2}（m-1）+mk（-k）+{m}^{2}}{m-1+k+1}$=m-k，
∵以线段MN为直径的圆过点B，∴BM⊥BN，∴m-k=-1，
又∵m²=k²+4，∴k=-$\frac{3}{2}$，m=-$\frac{5}{2}$，
经检验满足条件（*）式，
∴直线MN的方程为：3x+2y+5=0．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．