Question

10．某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E=cvⁿT，其中v为进行时相对于水的速度，T为行进时的时间（单位：h），c为常数，n为能量次级数，如果水的速度为4km/h，该生物探测器在水中逆流行进200km．
（1）求T关于v的函数关系式；
（2）①当能量次级数为2时，求探测器消耗的最少能量；
②当能量次级数为3时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少．

Answer 1

分析 （1）分别求出探测器相对于河岸的速度，建立条件即可即可求T关于v的函数关系式；
（2）①当能量次级数为2时，利用分式函数的性质结合基本不等式进行求解．
②当能量次级数为3时，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．

解答 解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为$\frac{200}{T}$，
又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小于4km/h，即为v-4，
则$\frac{200}{T}$=v-4，即T=$\frac{200}{v-4}$，（v＞4）；
（2）①当能量次级数为2时，由（1）知，v＞4，
E=200c$•\frac{{v}^{2}}{v-4}$=200c$•\frac{[（v-4）+4]^{2}}{v-4}$=200c•[（v-4）+$\frac{16}{v-4}$+8]
≥200c[2$\sqrt{（v-4）•\frac{16}{v-4}}$+8]=3200c，当且仅当v-4=$\frac{16}{v-4}$，即v=8km/h时取等号，
②当能量次级数为3时，由（1）知，E=200c•$\frac{{v}^{3}}{v-4}$，v＞4，
则E′=200c•$\frac{2{v}^{2}（v-6）}{（v-4）^{2}}$，由E′=0，解得v=6，
即当v＜6时，E′＜0，
当v＞6时，E′＞0，即当v=6时，函数E取得最小值为E=21600C．

点评 本题主要考查函数的应用问题，以及利用基本不等式和导数求解函数的最值，考查学生的运算能力．