Question

2．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，AC=AP=2．
（Ⅰ）求证：PC⊥AE；
（Ⅱ）求二面角A-CE-P的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明PC⊥AE；
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角A-CE-P的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取PC的中点F，连接EF，AF，
则EF∥CD．
因为AC=AP=2
所以PC⊥AF．…1分
因为 PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
所以 PA⊥CD
又 AC⊥CD
所以 CD⊥平面PAC…3分
因为PC?平面PAC，所以 CD⊥PC；
又 EF∥CD，所以 EF⊥PC；
又因为 PC⊥AF，AF∩EF=F；
所以 PC⊥平面AEF…5分
因为AE?平面AEF，所以 PC⊥AE…6分
（注：也可建系用向量证明）

（Ⅱ）以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．
则B（0，0，0），A（0，1，0），$C（{\sqrt{3}，0，0}）$，$D（{2\sqrt{3}，3，0}）$，$E（{\sqrt{3}，2，1}）$，P（0，1，2）$\overrightarrow{AC}=（{\sqrt{3}，-1，0}）$，$\overrightarrow{CE}=（{0，2，1}）$．
…8分
设平面ACE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{m}=0}\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y=0\\ 2y+z=0.\end{array}\right.$
令x=1．所以$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$）． …9分
由（Ⅰ）知CD⊥平面PAC，AF?平面PAC，
所以CD⊥AF．
同理PC⊥AF．所以AF⊥平面PCE
所以平面PCE的一个法向量$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$-\frac{1}{2}$，1）． …10分
所以cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$-\frac{\sqrt{6}}{4}$，…11分
由图可知，二面角A-CE-P为锐角，
所以二面角A-CE-P的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$． …12分．

点评 本题主要考查空间二面角的求解以及直线垂直的判断，建立空间坐标系，利用向量法是解决本题的关键．