Question

7．已知公比q＞0的等差数列 {a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S₃=7．数列 {b_n}中 b₁=0，b₃=1
（Ⅰ）若数列 {a_n+b_n}是等差数列，求 a_n，b_n
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求数列 {b_n}的前n项和 T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过S₃=7可得q=2，从而a_n=2^n-1，利用a₁+b₁=1、a₃+b₃=5可得数列{a_n+b_n}的公差d=2，计算即得结论；
（Ⅱ）通过结合法、利用等差、等比数列的求和公式，计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：S₃=1+q+q²=7，
解得：q=-3或q=2，
∵公比q＞0，∴q=2，∴a_n=2^n-1，
∴a₁+b₁=1，a₃+b₃=5，
∴数列{a_n+b_n}的公差d=2，
∴a_n+b_n=2n-1，
∴b_n=2n-1-a_n=（2n-1）-2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=（2n-1）-2^n-1，
∴T_n=（1-2⁰）+（3-2¹）+（5-2²）+…+[（2n-1）-2^n-1]
=[1+3+5+…+（2n-1）]-（2⁰+2¹+2²+…+2^n-1）
=n²-2ⁿ+1．

点评 本题考查求数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．