Question

16．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．
（1）求证：平面CBE⊥平面CDE；
（2）求直线EF与平面CBE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直的性质定理证明线面垂直，证得线线垂直，再证明面面垂直．
（2）过F作FN⊥CE交CE于N，则FN⊥平面CBE，连接EF，则∠NEF就是直线EF与平面CBE所成的角，找到角再利用线面关系求得，或者利用直角坐标系求解．

解答 （1）证明：因为DE⊥平面ACD，DE?平面CDE，所以平面CDE⊥平面ACD．
在底面ACD中，AF⊥CD，由面面垂直的性质定理知，AF⊥平面CDE．取CE的中点M，
连接BM、FM，由已知可得FM=AB且FM∥AB，则四边形FMBA为平行四边形，
从而BM∥AF．
所以BM⊥平面CDE．
又BM?平面BCE，则平面CBE⊥平面CDE．…（7分）
（2）法一：过F作FN⊥CE交CE于N，则FN⊥平面CBE，连接EF，则∠NEF就是直线
EF与平面CBE所成的角…（11分）
设AB=1，则$FN=\sqrt{2}，EF=\sqrt{5}$，在Rt△EFN中，$sin∠NFE=\frac{FN}{EF}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故直线EF与平面CBE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．…（15分）
法二：以F为坐标原点，FD、FA、FM所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图

所示．F（0，0，0），E（1，0，2），$B（0，\sqrt{3}，1）$，C（-1，0，0），平面CBE的一个法向量
为$\overrightarrow{n}=（-1，0，1），|\overrightarrow{n}|=\sqrt{2}$$\overrightarrow{EF}=（-1，0-2）$…（11分）
则   $cos＜\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{n}＞=\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{\sqrt{5}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
故直线EF与平面CBE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．…（15分）

点评 本题主要考查了面面垂直的性质定理和线面教的求法，属于中档题型，高考常考．