Question

19．已知3a+2b=1，a，b∈R^*，则$\frac{1}{12a+1}+\frac{1}{8b+1}$的最小值$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根据系数判断3a$•2b≤\frac{1}{4}$，恒等变形得出$\frac{1}{12a+1}+\frac{1}{8b+1}$=$\frac{12a+8b+2}{16（3a）•（2b）+4（3a+2b）+1}$=$\frac{6}{16（3a）•（2b）+5}$利用不等式求解即可．

解答 解；∵3a+2b=1，a，b∈R^*，
∴3a$•2b≤\frac{1}{4}$
∵$\frac{1}{12a+1}+\frac{1}{8b+1}$=$\frac{12a+8b+2}{16（3a）•（2b）+4（3a+2b）+1}$=$\frac{6}{16（3a）•（2b）+5}$$≥\frac{6}{16×\frac{1}{4}+5}$=$\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$
∴$\frac{1}{12a+1}+\frac{1}{8b+1}$的最小值为$\frac{2}{3}$
故答案：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了基本不等式的运用求解代数式的最值问题，关键是根据式子的结构的判断怎样恒等变形得出不等式的条件，考查了学生的化简运算能力．