Question

9．已知双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F也是抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点，C₁与C₂的一个交点为P，若PF⊥x轴，则双曲线C₁的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$+1
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$-1
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 根据抛物线的方程算出其焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），得到|PF|=p．设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的右焦点为F算出双曲线的焦距|FF′|=p，△TFF′中利用勾股定理算出|MF′|=$\sqrt{2}$p，再由双曲线的定义算出2a=（$\sqrt{2}$-1）p，利用双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．

解答 解：抛物线y²=2px的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），
由MF与x轴垂直，令x=$\frac{p}{2}$，可得|MF|=p，
双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的实半轴为a，半焦距c，另一个焦点为F'，
由抛物线y²=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，
即c=$\frac{p}{2}$，可得双曲线的焦距|FF′|=2c=p，
由于△MFF′为直角三角形，则|MF′|=$\sqrt{|FF′{|}^{2}+|PF{|}^{2}}$=$\sqrt{2}$p，
根据双曲线的定义，得2a=|MF′|-|MF|=$\sqrt{2}$p-p，可得a=（$\sqrt{2}-1$）p．
因此，该双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{1}{2}p}{\frac{（\sqrt{2}-1）p}{2}}$=$\sqrt{2}+1$．
故选：A．

点评 本题给出共焦点的双曲线与抛物线，在它们的交点在x轴上射影恰好为抛物线的焦点时，求双曲线的离心率．着重考查了抛物线和双曲线的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于中档题．