Question

4．已知sinα-cosα=$\frac{1}{5}$，0≤α≤π，则sin2α=$\frac{24}{25}$，sin（2α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{31\sqrt{2}}{50}$．

Answer 1

分析 由sinα-cosα=$\frac{1}{5}$，两边平方，再利用同角三角函数基本关系式、倍角公式，两角和与差的正弦函数公式即可得出．

解答 解：∵sinα-cosα=$\frac{1}{5}$，0≤2α≤2π，
∴两边平方可得：1-sin2α=$\frac{1}{25}$，可得：sin2α=$\frac{24}{25}$．
∵sinα-cosα=$\frac{1}{5}$＞0，0≤α≤π，
∴sinα＞cosα，$\frac{π}{4}$＜α≤π，可得：$\frac{π}{2}$＜2α≤2π，
又∵sin2α=$\frac{24}{25}$＞0，可得：0＜2α＜π，从而可得：$\frac{π}{2}$＜2α＜π，
∴cos2α=-$\sqrt{1-si{n}^{2}2α}$=-$\frac{7}{25}$，
∴sin（2α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin2α-cos2α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{24}{25}$+$\frac{7}{25}$）=$\frac{31\sqrt{2}}{50}$．
故答案为：$\frac{24}{25}$，$\frac{31\sqrt{2}}{50}$．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基础题．