Question

16．二次函数y=kx²（x＞0）的图象在点（a_n，a_n²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_n+1，n为正整数，a₁=$\frac{1}{3}$，若数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₅=（　　）

• A． $\frac{3}{2}[{1-{{（{\frac{1}{3}}）}^5}}]$
• B． $\frac{1}{3}[{1-{{（{\frac{1}{3}}）}^5}}]$
• C． $\frac{2}{3}[{1-{{（{\frac{1}{2}}）}^5}}]$
• D． $\frac{3}{2}[{1-{{（{\frac{1}{2}}）}^5}}]$

Answer 1

分析 根据题意得出k=1，2ka_n=$\frac{{{a}^{2}}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n+1}}$，化简判断为等比数列，即可求解．

解答 解：∵二次函数y=kx²（x＞0）的图象在点（a_n，a_n²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_n+1，
∴k=1，2ka_n=$\frac{{{a}^{2}}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n+1}}$，得出$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$=常数，
∴数列{a_n}是首项为$\frac{1}{3}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴S₅=$\frac{\frac{1}{3}（1-（\frac{1}{2}）^{5}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$（1-（$\frac{1}{2}$）⁵）
故选：C

点评 本题综合考查了数列与导数的综合解决问题，等比数列的性质的运用，属于中档题，难度不大．