Question

10．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{6}$=1与抛物线y²=2px有公共焦点F，双曲线与抛物线的准线交于M、N两点，且△MNF为等边三角形，则p的值为（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．

解答 解：由题意，a²+6=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
准线方程与双曲线联立可得y=±$\frac{6}{a}$
因为△ABF为等边三角形，所以2c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{12}{a}$，即ac=3$\sqrt{3}$，
即a²（a²+6）=27，解得a²=3，
∴$\frac{{p}^{2}}{4}$=9，
∴p=6．
故选：D．

点评 本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．