Question

15．已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，$f（x）=x+\frac{1}{x}$，且当$x∈[-\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}]$时，n≤f（x）≤m恒成立，则m-n的最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据函数y=f（x）是偶函数，当x∈[-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$]时，n≤f（x）≤m恒成立，可知当x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]时，n≤f（x）≤m恒成立，求出当x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]时，函数的值域，即可求得m-n的最小值．

解答 解：∵解：∵函数y=f（x）是偶函数，当x∈[-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$]时，n≤f（x）≤m恒成立，
∴当x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]时，n≤f（x）≤m恒成立，
∵当x＞0时，$f（x）=x+\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$
令f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，可得x＞1，
∴函数在[1，$\frac{3}{2}$]上单调增，
f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，0＜x＜1，
∴函数在[$\frac{1}{2}$，1]上单调减，
∵f（1）=2，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$，f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{13}{6}$
∴当x∈[2，3]时，函数的值域为[2，$\frac{5}{2}$]
∵当x∈[2，3]时，n≤f（x）≤m恒成立，
∴m-n的最小值是$\frac{5}{2}$-2=$\frac{1}{2}$
故答案为：$\frac{1}{2}$

点评 本题重点考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，学生分析解决问题的能力，利用导数求解对钩函数的最值问题．属于基础题