Question

5．已知函数f（x）=$\frac{mx+n}{e^x}$（m，n∈R，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（x））处的切线方程为x+ey-3=0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当n=-1，m∈R时，若对于任意$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$都有f（x）≥x恒成立，求实数m的最小值；
（Ⅲ）当m=n=1时，设函数g（x）=xf（x）+tf′（x）+e^-x（t∈R），是否存在实数a，b∈[0，1]，使得2g（a）＜g（b）？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用导数的几何意义，求出函数的解析式，再利用导数的正负，即可确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对于任意x∈[$\frac{1}{2}$，1]都有f（x）≥x恒成立，等价于m≥e^x+$\frac{1}{x}$对于任意x∈[$\frac{1}{2}$，1]恒成立，求出函数的最大值，即可求实数m的最小值；
（Ⅲ）假设存在实数a，b∈[0，1]，使得2g（a）＜g（b），则2g（x）_min＜g（x）_max，研究g（x）在[0，1]上单调性，用t表示出g（x）在[0，1]上的最值，解相关的关于t的不等式求出范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\frac{mx+n}{e^x}$，
∴f′（x）=$\frac{-mx+（m-n）}{{e}^{x}}$
∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey-3=0，
∴f（1）=$\frac{2}{e}$，f′（1）=-$\frac{1}{e}$
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+n}{e}=\frac{2}{e}}\\{\frac{-n}{e}=-\frac{1}{e}}\end{array}\right.$，∴m=1，n=1
∴f（x）=（x+1）e^-x，
∴f′（x）=-xe^-x，
∴f（x）的单调增区间为（-∞，0），单调减区间为（0，+∞），
（Ⅱ）∵n=-1，m∈R，∴f（x）≥x，
∴（mx-1）e^-x≥x
即m≥e^x+$\frac{1}{x}$，
对于任意x∈[$\frac{1}{2}$，1]都有f（x）≥x恒成立，等价于m≥e^x+$\frac{1}{x}$对于任意x∈[$\frac{1}{2}$，1]恒成立，
记g（x）=e^x+$\frac{1}{x}$，
则g′（x）=e^x-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
设h（x）=e^x-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴h′（x）=e^x+$\frac{2}{{x}^{3}}$＞0在x∈[$\frac{1}{2}$，1]恒成立，
∴h（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上单调递增，
又h（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-4＜0，h（2）=e²-$\frac{1}{4}$＞0，
∴g（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上有唯一的零点x₀，
∴当x∈[$\frac{1}{2}$，x₀）时，g′（x）＜0，x∈（x₀，2）时，g′（x）＞0，
∴g（x）的最大值是g（$\frac{1}{2}$）与g（2）中的较大的一个，
∵g（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$+2＜g（2）=e²+$\frac{1}{2}$，
∴m≥e²+$\frac{1}{2}$，
∴实数m的最小值为e²+$\frac{1}{2}$．
（Ⅲ）假设存在实数a，b∈[0，1]，使得2g（a）＜g（b），则2g（x）_min＜g（x）_max，
∵g（x）=xf（x）+tf′（x）+e^-x=$\frac{{x}^{2}+（1-t）x+1}{{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{-（x-t）（x-1）}{{e}^{x}}$，
①当t≥1时，g′（x）≤0，g（x）在[0，1]上单调递减，
∴2g（1）＜g（0），即2•$\frac{3-t}{e}$＜1，得t＞3-$\frac{e}{2}$＞1．
②当t≤0时，g′（x）＞0，g（x）在[0，1]上单调递增．
∴2g（0）＜g（1），即2＜$\frac{3-t}{e}$，得t＜3-2e＜0，
③当0＜t＜1时，
在x∈[0，t），g′（x）＜0，g（x）在[0，t]上单调递减
在x∈（t，1]，g′（x）＞0，g（x）在[t，1]上单调递增．
∴2g（t）＜max{ g（0），g（1）}，
即2•$\frac{t+1}{{e}^{t}}$＜max{ 1，$\frac{3-t}{e}$}（*）
由（Ⅰ）知，f（t）=2•$\frac{t+1}{{e}^{t}}$在[0，1]上单调递减，
故2•$\frac{t+1}{{e}^{t}}$≥2•$\frac{2}{e}$=$\frac{4}{e}$，
∴所以不等式（*）无解，
综上所述，存在t∈（-∞，3-2e）∪（3-$\frac{e}{2}$，+∞），使命题成立．

点评 本题考查的知识点是导数的几何意义，函数的单调性，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键，属于难题．