Question

13．曲线y=$\frac{sinx}{x}$在点M（π，0）处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D（不含三角形边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+4y的取值范围为（0，4）．

Answer 1

分析 求出函数的切线方程，作出对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可得到结论．

解答 解：∵y=f（x）=$\frac{sinx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，
在点M（π，0）处的切线斜率f′（π）=-$\frac{1}{π}$，
则对应的切线方程为y=-$\frac{1}{π}$（x-π）=-$\frac{1}{π}$x+1，
则对应的三角形区域为阴影部分（不含边界）．
设z=x+4y，平移直线x+4y=0，
由图象可知当直线经过点A（0，1）时，
直线z=x+4y的截距最大，此时z最大，
为z=4，
当直线经过点O（0，0）时，
直线z=x+4y的截距最小，此时z最小，
且为z=0．
则x+4y的取值范围为（0，4）．
故答案为：（0，4）．

点评 本题主要考查导数的几何意义的应用，以及线性规划的有关知识，利用数形结合是解决本题的关键．