Question

16．已知函数$f（x）=a（x-\frac{1}{x}）-mlnx（a，m∈R，m≠0）$．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x-y-m=0，求a、m的值；
（2）若m=1且关于x的不等式f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数的导数，通过切线方程，求解m，a即可．
（2）利用导函数恒成立，转化构造函数，通过导函数的单调性求解即可．

解答 解：（1）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x-y-m=0，
函数$f（x）=a（x-\frac{1}{x}）-mlnx（a，m∈R，m≠0）$．
可得$f'（x）=a+\frac{a}{x^2}-\frac{m}{x}⇒f'（1）=2a-m=2$，
又（1，f（1））=（1，0）⇒2-0-m=0⇒m=2，
解得a=2．
（2）$f'（x）=\frac{{a{x^2}-x+a}}{x}≥0⇒a≥\frac{x}{{1+{x^2}}}$恒成立，
设函数$g（x）=\frac{x}{{1+{x^2}}}（x≥2）⇒$函数g（x）在[2，+∞）是减函数，
则${g_{max}}（x）=g（2）=\frac{2}{5}$，所以$a≥\frac{2}{5}$．

点评 本题考查函数的导数的应用，构造法的应用，导函数的最值的求法，考查计算能力．