Question

2．已知函数f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$，其中a为常数．
（1）若0＜a＜1，求证：f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）＞0；
（2）当函数f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（$\frac{{a}^{2}}{2}$），构造函数g（a）=2lna-$\frac{{a}^{3}}{2}$+$\frac{2}{a}$-ln2，利用导数求得g（a）＞g（1）=2-$\frac{1}{2}$-ln2＞0，问题得以证明；
（2）求出原函数的导函数，然后分a≤0，a≥$\frac{1}{2}$，0＜a＜$\frac{1}{2}$三种情况讨论f（x）的零点的个数．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$，
∴f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）=ln$\frac{{a}^{2}}{2}$-$\frac{{a}^{3}}{2}$+$\frac{2}{a}$=2lna-$\frac{{a}^{3}}{2}$+$\frac{2}{a}$-ln2，
令g（a）=2lna-$\frac{{a}^{3}}{2}$+$\frac{2}{a}$-ln2，
∴g′（a）=$\frac{2}{a}$-$\frac{2}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{2}$=$\frac{-3{a}^{4}+4（a-1）}{2{a}^{2}}$，
∴a∈（0，1）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减，
∴g（a）＞g（1）=2-$\frac{1}{2}$-ln2＞0，
∴当0＜a＜1时，f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）＞0；
（2）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-a（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{-a{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，
∴-ax²+x-a=0，
∵函数f（x）存在不同的零点，
∴△=1-4a²＞0，
解得$-\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$
①当a≤0时，在（0，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）递增，
∴f（x）至多只有一个零点，不合题意；
②当a≥$\frac{1}{2}$时，在（0，+∞）上，f′（x）≤0，f（x）递减，
∴f（x）至多只有一个零点，不合题意；
③当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，令f′（x）=0，得，x₁=$\frac{1-\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$
此时，f（x）在（0，x₁）上递减，（x₁，x₂）上递增，（x₂，+∞）上递减，
∴f（x）至多有三个零点．
∵f（x）在（x₁，1）递增，∴f（x₁）＜f（1）=0，
又∵f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）＞0，
∴?x₀∈（$\frac{{a}^{2}}{2}$，x₁），使得f（x₀）=0，
又f（$\frac{1}{{x}_{0}}$）=-f（x₀）=0，f（1）=0，
∴恰有三个不同零点：x₀，1，$\frac{1}{{x}_{0}}$
∴函数f（x）存在三个不同的零点时，a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用；考查推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等，属于难题．