Question

17．若不等式sin2θ-（2$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$a）sin（θ+$\frac{π}{4}$）-$\frac{2\sqrt{2}}{cos（θ-\frac{π}{4}）}$＞-3-2a对θ∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，3）
• B． （-∞，2$\sqrt{2}$）
• C． （2$\sqrt{2}$，3）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 首先，根据x=sinθ+cosθ，得到x=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），然后，确定函数的定义域，再利用sin（x+$\frac{π}{4}$）=sin（x-$\frac{π}{4}$）代人化简，得到函数y=h（x）的解析式．分离参数a然后，借助于基本不等式进行求解范围问题．

解答 解：设，h（x）=sin2θ-（2$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$a）sin（θ+$\frac{π}{4}$）-$\frac{2\sqrt{2}}{cos（θ-\frac{π}{4}）}$，
∵x=sinθ+cosθ，
∴x=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴θ+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴x∈[1，$\sqrt{2}$]，
函数的定义域为[1，$\sqrt{2}$]；
∵sin2θ=x²-1，x=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
sin（θ+$\frac{π}{4}$）=cos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴函数y=h（x）=x²-（a+2）x$-\frac{4}{x}$-1，
h（x）=x²-（a+2）x$-\frac{4}{x}$-1＞-3-2a，
即x²-（a+2）x$-\frac{4}{x}$-1＞-3-2a，
∴（2-x）a＞2x-x²+$\frac{4-2x}{x}$，
∵x∈[1，$\sqrt{2}$]，
∴2-x＞0，
∴a$＞x+\frac{2}{x}$，
令函数f（x）=x+$\frac{2}{x}$，
则函数f（x）在x∈[1，$\sqrt{2}$]，上单调递减，
所以f（x）在x∈[1，$\sqrt{2}$]，上的最大值为f（1）=3．
即知a的取值范围为（3，+∞）
故选：D

点评 本题综合考查函数的基本性质，函数恒成立问题，分离参数法在求解问题中的灵活运用，属于中档题