Question

7．已知f（x）=e^x-x²+b，曲线y=f（x）与直线y=ax+1相切于点（1，f（1））
（I）求a，b的值；
（Ⅱ）证明：当x＞0时，[e^x+（2-e）x-1]（3+cosx）-4xsinx＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点坐标，解方程可得a，b的值；
（ II）由（Ⅰ）得，f（x）=e^x-x²，首先证明：当x＞0时，f（x）≥（e-2）x+1．运用导数和单调性可证；因x＞0，则$\frac{{e}^{x}+（2-e）x-1}{x}$≥x（当且仅当x=1时等号成立）．再证明：当x＞0时，x＞$\frac{4sinx}{3+cosx}$．通过令p（x）=x-$\frac{4sinx}{3+cosx}$，求出导数，判断单调性，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x-2x．  
由题设得a=f′（1）=e-2，a+1=f（1）=e-1+b．
故a=e-2，b=0．  
（ II）由（Ⅰ）得，f（x）=e^x-x²，
下面证明：当x＞0时，f（x）≥（e-2）x+1．
设g（x）=f（x）-（e-2）x-1，x＞0．
则g′（x）=e^x-2x-（e-2），
设h（x）=g′（x），则h′（x）=e^x-2，
当x∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．
又h（0）=3-e＞0，h（1）=0，0＜ln2＜1，h（ln2）＜0，
所以?x₀∈（0，1），h（x₀）=0，
所以当x∈（0，x₀）或x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0；
当x∈（x₀，1）时，g′（x）＜0，
故g（x）在（0，x₀）和（1，+∞）单调递增，在（x₀，1）单调递减，
又g（0）=g（1）=0，所以g（x）=e^x-x²-（e-2）x-1≥0．
因x＞0，则$\frac{{e}^{x}+（2-e）x-1}{x}$≥x（当且仅当x=1时等号成立）．①，
以下证明：当x＞0时，x＞$\frac{4sinx}{3+cosx}$．
令p（x）=x-$\frac{4sinx}{3+cosx}$，则p′（x）=1-$\frac{4（3cosx+1）}{（3+cosx）2}$=$\frac{（cosx-1）（cosx-5）}{（3+cosx）2}$≥0，
（当且仅当x=2kπ，k∈Z时等号成立）．
所以p（x）在（0，+∞）单调递增，当x＞0时，p（x）=x-$\frac{4sinx}{3+cosx}$＞p（0）=0，
即x＞$\frac{4sinx}{3+cosx}$．②
由①②得当x＞0时，$\frac{{e}^{x}+（2-e）x-1}{x}$＞$\frac{4sinx}{3+cosx}$，
又x（3+cosx）＞0，
故[e^x+（2-e）x-1]（3+cosx）-4xsinx＞0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，主要考查单调性的运用，同时考查不等式的证明，注意运用构造函数的方法，属于中档题．