Question

16．在△ABC中，内角A、B、C对应的三边长分别为a，b，c，且满足c（acosB-$\frac{1}{2}$b）=a²-b²．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{3}$，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理表示出cosB，代入已知等式整理后再利用余弦定理表示求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（Ⅱ）由a与sinA的值，利用正弦定理表示出b与c，代入b+c中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域确定出范围即可．

解答 解：（Ⅰ）∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，c（acosB-$\frac{1}{2}$b）=a²-b²，
∴a²+c²-b²-bc=2a²-2b²，即a²=b²+c²-bc，
∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
则A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由正弦定理得$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin（A+B）=2sinB+2sinAcosB+2cosAsinB
=3sinB+$\sqrt{3}$cosB=2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
则b+c∈（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．