Question

6．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AC}$=k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，其中k∈R，且$|{\overrightarrow a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°对于以下结论：
①|${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|=$\sqrt{3}$；
②若点D是边BC的中点，则$\overrightarrow{AD}$=$\frac{k+1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）；
③若∠A为直角，则k=$\frac{{5±\sqrt{21}}}{2}$；
④若∠A为钝角，则k＜$\frac{{5-\sqrt{21}}}{2}$且k≠-1或k＞$\frac{{5+\sqrt{21}}}{2}$；
⑤若∠A为锐角，则$\frac{{5-\sqrt{21}}}{2}$＜k＜$\frac{{5+\sqrt{21}}}{2}$．
其中所有正确命题的序号是①②③④⑤ （把你认为正确命题的序号都填上）．

Answer 1

分析 由条件利用两个向量的加减法及其几何意义，两个向量的数量积的定义和公式，一元二次不等式的解法，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：由题意可得，$|{\overrightarrow a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1×2×cos120°=-1，
∴|${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{1-2+4}$=$\sqrt{3}$，故①正确．
若点D是边BC的中点，由$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AC}$=k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，可得$\overrightarrow{AD}$=$\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$=$\frac{k+1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），故②正确．
若∠A为直角，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$ ）=k（${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$）+（k²+1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-k²+5k-1=0，求得k=$\frac{5±\sqrt{21}}{2}$，故③正确．
若∠A为钝角，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$ ）=k（${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$）+（k²+1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-k²+5k-1＜0，求得k＜$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$ 或k＞$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$，故④正确．
若∠A为锐角，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$ ）=k（${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$）+（k²+1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-k²+5k-1＞0，求得$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$k＜$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$，故⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．

点评 本题主要考查平面向量的数量积、夹角、运算法则，一元二次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．