Question

1．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-1（n=1，2，…）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{{2}^{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$，求数列{b_n}的前n项和T_n，并求使T_n$＜\frac{2014}{2015}$成立的n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a_n=S_n-S_n-1可得a_n=2a_n-1，进而可得结论；
（Ⅱ）通过对b_n分离分母，并项相加即得结论．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，∴a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}的通项：a_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（I）知b_n=$\frac{{2}^{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$
=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$
=2（$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2+1}$+$\frac{1}{2+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$）
=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$），
T_n$＜\frac{2014}{2015}$等价于2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$）$＜\frac{2014}{2015}$，
∴2ⁿ+1＜4030，即得n≤11，
即n的最大值为11．

点评 本题考查求数列的通项、前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．