Question

13．已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的最小正周期T=4π
（I）求ω；
（Ⅱ）当x∈[-π，π]时，求函数：y=f（x）-$\frac{1}{2}$的零点．

Answer 1

分析 （I）由条件利用三角恒等变换函数f（x）的解析式，为f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$），由函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=4π，求得ω=$\frac{1}{2}$的值．
（Ⅱ）当条件求得sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，可得 $\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{6}$ 或 $\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，由此求得x的值．

解答 解：（I）函数f（x）=sinωx+cos（ωx+$\frac{π}{6}$）=sinωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx-$\frac{1}{2}$sinωx
=$\frac{1}{2}$sinωx++$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx=sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
且函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=4π，
∴ω=$\frac{1}{2}$，f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）当x∈[-π，π]时，由f（x）-$\frac{1}{2}$，
可得sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{6}$ 或 $\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，
求得x=4kπ-$\frac{π}{3}$，或 x=4kπ+π，k∈z，
∵x∈[-π，π]，
∴x=-$\frac{π}{3}$，或x=π．

点评 本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，属于中档题．