Question

3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（2sin$\frac{A}{2}$，cosA），$\overrightarrow{n}$=（1-2sin²$\frac{A}{4}$，-$\sqrt{15}$），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$
（Ⅰ）求角A的余弦值；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{6}$，求△ABC的面积最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量数量积的定义，以及三角函数的关系式即可求角A的余弦值；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{6}$，根据余弦定理求出bc的取值范围即可求△ABC的面积最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2sin$\frac{A}{2}$（1-2sin²$\frac{A}{4}$）-$\sqrt{15}$cosA=0
即2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$=$\sqrt{15}$cosA，
即sinA=$\sqrt{15}$cosA，
在△ABC中，sinA＞0，cosA＞0，
解得cosA=$\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）若a=$\sqrt{6}$，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
又b²+c²≥2bc，
∴a²≥2bc-2bccosA，
即6≥2bc-$\frac{1}{4}$×2bc=$\frac{3}{2}$bc，
∴bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号，
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}bc×\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{\sqrt{15}}{8}bc$$≤\frac{\sqrt{15}}{8}×4$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
即三角形面积的最大值为$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

点评 本题主要考查余弦定理和三角形的面积的计算，利用向量的数量积进行化简是解决本题的关键．考查学生的运算能力．