Question

18．如图，已知AB为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C作半圆的切线CF，过点A作CF的垂线，垂足为D，AD交半圆于点E，连结EC，BC，AC．
（Ⅰ）证明：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）若AB=3，DE=$\frac{3}{4}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明∠BAC=∠CAD，即可证明：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）证明△DCE∽△CAB，则$\frac{DE}{CE}=\frac{CB}{AB}$，求出BC，即可求△ABC的面积．

解答 （Ⅰ）证明：由CD为半圆O的切线，根据弦切角定理得∠DCA=∠CBA，
又因为∠CDA=∠BCA=90°，得∠BAC=∠CAD，
所以AC平分∠BAD；…（5分）
（Ⅱ）解：由CD为半圆O的切线，根据弦切角定理得∠DCE=∠CDA，
又因为∠CAD=∠CAB，所以∠DCE=∠CAB，
可得△DCE∽△CAB，则$\frac{DE}{CE}=\frac{CB}{AB}$，
又因为EC=BC，AB=3，DE=$\frac{3}{4}$，
所以BC=$\frac{3}{2}$，即S_△ABC$\frac{9\sqrt{3}}{8}$．…（10分）

点评 本题考查弦切角定理，考查三角形相似的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．