Question

10．函数f（x）=（1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…-$\frac{{{x^{2012}}}}{2012}$+$\frac{{{x^{2013}}}}{2013}$-$\frac{{{x^{2014}}}}{2014}$+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}}$）cos2x在区间[-3，3]上零点的个数为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 令g（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…-$\frac{{{x^{2012}}}}{2012}$+$\frac{{{x^{2013}}}}{2013}$-$\frac{{{x^{2014}}}}{2014}$+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}}$，由其导函数判断其在[-3，3]上为单调函数，且有一个零点，而y=cos2x在区间[-3，3]上有4个零点，则答案可求．

解答 解：设g（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…-$\frac{{{x^{2012}}}}{2012}$+$\frac{{{x^{2013}}}}{2013}$-$\frac{{{x^{2014}}}}{2014}$+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}}$，
则g′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴=$\frac{1+{x}^{2015}}{1+x}$，
在区间[-3，3]上，$\frac{1+{x}^{2015}}{1+x}$＞0，故函数g（x）在[-3，3]上是增函数，
由于g（-3）式子中右边x的指数为偶次项前为负，奇数项前为正，结果必负，即g（-3）＜0，
且g（3）=1+3+（-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$）+（-$\frac{x^4}{4}$+$\frac{{x}^{5}}{5}$）+…+（-$\frac{{{x^{2012}}}}{2012}$+$\frac{{{x^{2013}}}}{2013}$）+（-$\frac{{{x^{2014}}}}{2014}$+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}}$）＞0，
故在[-3，3]上函数g（x）有且只有一个零点．
又y=cos2x在区间[-3，3]上有四个零点，且与上述零点不重复，
∴函数f（x）=（1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…-$\frac{{{x^{2012}}}}{2012}$+$\frac{{{x^{2013}}}}{2013}$-$\frac{{{x^{2014}}}}{2014}$+$\frac{{{x^{2015}}}}{2015}}$）cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为1+4=5．
故选C．

点评 本题考查基本初等函数的导函数的求法，考查了函数零点的判断，是中档题．