Question

15．已知数列{a_n}的首项为a₁=1，a₂=3，且满足对任意的n∈N^•，都有a_n+1-a_n≤2ⁿ，a_n+2-a_n≥3×2ⁿ成立，则a₂₀₁₅=2²⁰¹⁵-1．

Answer 1

分析 通过对a_n+1-a_n≤2ⁿ变形可得a_n+1-a_n≥2ⁿ，利用a_n+1-a_n≤2ⁿ，可得a_n+1-a_n=2ⁿ，并项相加即得结论．

解答 解：∵a_n+1-a_n≤2ⁿ，∴-a_n+1+a_n≥-2ⁿ，
又∵a_n+2-a_n≥3×2ⁿ，
∴a_n+2-a_n+1=a_n+2-a_n-a_n+1+a_n≥3×2ⁿ-2ⁿ=2ⁿ⁺¹，
∴a_n+1-a_n≥2ⁿ，
又∵a_n+1-a_n≤2ⁿ，∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a₂₀₁₅=a₂₀₁₅-a₂₀₁₄+a₂₀₁₄-a₂₀₁₃+…+a₃-a₂+a₂-a₁+a₁
=2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+…+2²+2+1
=$\frac{1-{2}^{2015}}{1-2}$
=2²⁰¹⁵-1，
故答案为：2²⁰¹⁵-1．

点评 本题考查求数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．