Question

9．在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n-k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P_n（k）．
（1）求P₃（1）
（2）求$\sum_{k=0}^{4}$P₄（k）；
（3）证明$\sum_{k=0}^{n}$kP_n（k）=n$\sum_{k=0}^{n-1}$P_n-1（k），并求出$\sum_{k=0}^{n}$kP_n（k）的值．

Answer 1

分析 （1）数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，即可得出；
（2）类比（1）即可得出；
（3）：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有$C_n^k$种；其余n-k个元素重新排列，并且使其余n-k个元素都要改变位置，则${P_n}（k）=C_n^k{P_{n-k}}（0）$，可得$\sum_{k=0}^n{k{P_n}（k）}=\sum_{k=0}^nkC_n^k{P_{n-k}}（0）$，利用$kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}$，即可得出．

解答 （1）解：∵数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，
∴P₃（1）=3；
（2）解：$\sum_{k=0}^4{{P_4}（k）}={P_4}（0）+{P_4}（1）+{P_4}（2）+{P_4}（3）+{P_4}（4）$=$C_4^0C_3^1C_3^1+C_4^1C_2^1+C_4^2+0+1=9+8+6+0+1=24$；
（3）证明：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有$C_n^k$种；其余n-k个元素重新排列，并且使其余n-k个元素都要改变位置，则有${P_n}（k）=C_n^k{P_{n-k}}（0）$，
故$\sum_{k=0}^n{k{P_n}（k）}=\sum_{k=0}^nkC_n^k{P_{n-k}}（0）$，
又∵$kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}$，
∴$\sum_{k=0}^n{k{P_n}（k）}=\sum_{k=0}^nkC_n^k{P_{n-k}}（0）=n\sum_{k=0}^{n-1}{C_{n-1}^k{P_{n-k-1}}（0）}=n\sum_{k=0}^{n-1}{{P_{n-1}}（k）}$．
令${a_n}=\sum_{k=0}^n{k{P_n}（k）}$，则a_n=na_n-1，且a₁=1．
于是a₂a₃a₄…a_n-1a_n=2a₁×3a₂×4a₃×…×na_n-1，
左右同除以a₂a₃a₄…a_n-1，得a_n=2×3×4×…×n=n!
∴$\sum_{k=0}^n{k{P_n}（k）}=n!$．

点评 本题考查了排列与组合的计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．