Question

13．若对任意x∈[1，2]，不等式4^x-a•2^x+1+a²-1＞0恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，1）∪（5，+∞）．

Answer 1

分析 巧换元，设令2^x=t，得到不等式（t-a）²＞1恒成立，解得t＞a+1或t＜a-1，即可得到a的取值范围．

解答 解：令2^x=t，∵x∈[1，2]，
∴t∈[2，4]，
∴t²-2at+a²-1＞0，t∈[2，4]恒成立，
即有（t-a）²＞1，
解得t＞a+1或t＜a-1，
由t∈[2，4]，则a+1＜2，即a＜1，
a-1＞4即a＞5．
则实数a的取值范围是（-∞，1）∪（5，+∞）．
故答案为：（-∞，1）∪（5，+∞）．

点评 考查学生理解掌握不等式恒成立的条件，注意化简转化为求函数的最值问题，属于中档题．