Question

3．表是一个由正数组成的数表，数表中各列依次成等差数列，各行依次成等比数列，且公比都相等．已知a_1，1=1，a_2，3=8，a_3，2=6．
（Ⅰ）求数列{a_2，n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{{a_{n，}}_1{a_{n+2，1}}}}+{（-1）^n}{a_{n，1}}$，求数列{b_n}的前n和S_n．

a1，1	a1，2	a1，3	a1，4	…
a2，1	a2，2	a2，3	a2，4	…
a3，1	a3，2	a3，3	a3，4	…
a4，1	a4，2	a4，3	a4，4	…
…	…	…	…	…

Answer 1

分析 （Ⅰ）设第一行依次组成的等差数列的公差是d，等比数列的公比是q＞0，可得a_2，3=qa_1，3=q（1+2d）=8，a_3，2=q²a_1，2=q²（1+d）=6，解出d，q即可得到所求；
（Ⅱ）利用等差数列的通项公式可得a_n，1，可得b_n，可得S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）-1+2-3+4-5+…+（-1）ⁿn，再利用裂项相消求和和对n分类讨论即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设第一列依次组成的等差数列的公差为d，
设第一行依次组成的等比数列的公比为q（q≠0），
则 $\left\{\begin{array}{l}{a_{2，3}}={a_{2，1}}{q^2}=（1+d）{q^2}=8\\{a_{3，2}}={a_{3，1}}q=（1+2d）q=6\end{array}\right.$，
解得：$d=-\frac{7}{8}或d=1$，因为等差数列是正数数列，
所以d=1，q=2，a_2，1=1+1=2，
即有${a_{2，n}}={a_{2，1}}{q^{n-1}}={2^n}$；
（Ⅱ）因为a_n，1=a_1，1+（n-1）d=n，
所以${b_n}=\frac{1}{{{a_{n，}}_1{a_{n+2，1}}}}+{（-1）^n}{a_{n，1}}=\frac{1}{n（n+2）}+{（-1）^n}n=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）+{（-1）^n}n$，
则S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）-1+2-3+4-5+…+（-1）ⁿn
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）-1+2-3+4-5+…+{（-1）^n}n$，
当n为偶数时${S_n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}+\frac{n}{2}$；
当n为奇数时${S_n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}-\frac{n+1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，裂项相消求和分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．