Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（-2，0）若$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{b}$（$\overrightarrow{c}$≠$\overrightarrow{0}$），当t∈[-$\sqrt{3}$，2]时，|$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$|的取值范围为[1，$\sqrt{13}$]．

Answer 1

分析 由已知求出$\overrightarrow{c}$用t表示的坐标，得到t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$的坐标，然后用t表示|$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$|，根据t∈[-$\sqrt{3}$，2]求其范围．

解答 解：由已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（-2，0）若$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{b}$（$\overrightarrow{c}$≠$\overrightarrow{0}$），设$\overrightarrow{c}$=（x，y），则-2x+0=0，即x=0，所以$\overrightarrow{c}$=（0，y），则t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$=（0，t），
所以$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$=（1，$\sqrt{3}$-t），
所以，|$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$|²=1+（$\sqrt{3}$-t）²，又t∈[-$\sqrt{3}$，2]，
所以当t=$\sqrt{3}$时，|$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$|²的最小值为1；当t=$-\sqrt{3}$时，|$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$|²的最大值为13；
所以|$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$|的取值范围为[1，$\sqrt{13}$]；
故答案为：[1，$\sqrt{13}$]．

点评 本题考查了向量的加减法的坐标运算以及向量模的求法．